Frage zu Ableitung einer Funktion

[ML95]

Hallo zusammen,

Ich sitze momentan an einer Funktion, die es abzuleiten gilt. Sie lautet: fa(t) = a*(1-e^-0,25t)

t ist also die Variable, a der Scharparameter, mit e ist die Eulersche Zahl gemeint.
Eine Grafik mit richtiger Schreibweise ist angehängt.

Das es eine Verkettung ist, weiß ich, aber irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch, was innere und äußere Ableitung angeht und wie man damit weiterrechnet.

Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

Besten Dank schonmal,

ML95

 

[memphisray]

verkettet ist da nichts denn du leitest nur eine variable ab, multipliziere erstmal aus und such danach im mathebuch oder auf dem formelzettel nach ableitungen für e^t, ich hoffe du weißt was die ableitung einer konstanten ist ( und besonders warum )

edit: ich habe gerade deine gedanken nochmal gelesen, ich habe die befürchtung das du im grunde nicht weißt was eine Ableitung an sich ist!? Wenn ich mit meiner annahme richtig liege solltest du dir mal zeit nehmen und das thema aus einem größeren abstand betrachten z.B. auf wiki.

 

[ML95]

@memphisray

Danke dir erstmal für deine Hilfe.

Aber ich weiß sehr wohl, was eine Ableitung ist und weiß auch, dass eine Konstante abgeleitet immer null ergibt und dass e^t abgeleitet e^t bleibt. Das sollte ich auch wissen, da ich in zwei Tagen Mathe-Vorabiklausur schreibe

Stand nur etwas auf dem Schlauch gerade. Habe es aber jetzt folgendermaßen gelöst:



Hat, wie du sagst, nichts mit Verkettung zu tun. Im Lösungsheft stand nur halt kein Rechenweg drin, nur, dass man unter Anwendung der Konstanten- und Kettenregel ableiten soll und halt eben das Endergebnis. Von daher war ich auch etwas irritiert

Aber durch ausmultiplizieren geht es ja viel vorteilhafter.

Schönen Abend noch

 

[kisser]

Aber selbstverständlich kommt hier die Kettenregel zur Anwendung!

(Konstanten weggelassen)

Äußere Funktion f(y) = e^y
Innere Funktion y(t) = -0,25*t

 

[ML95]

@kisser

Die Konstante muss drin bleiben, sie gehört ins Endergebnis und muss daher auch in innerer oder äußerer Funktion vorkommen.

Außerdem geht die Lösung mit vorigem ausmultiplizieren viel einfacher.

Ergänzung (20. Februar 2013)

Ich habe noch einmal einen Ableitungsrechner gesucht.

Nach der Kettenregel ist die Funktion so abzuleiten:



Naja, jetzt weiß ich ja, wie hierauf die Kettenregel anzuwenden ist.
Obwohl die Ausklammermethode meiner Meinung nach einfacher und mathematisch genauso korrekt ist

Beste Grüße,

ML95

 

[kisser]

Ob du vorher ausklammerst oder nicht spielt doch gar keine Rolle.
Die Kettenregel wendest du auf jeden Fall an. Vielleicht ist dir das nur bei so einfachen Funktionen gar nicht klar, dass du das tust.

z.B.
f(x)=e^(2*x) => f'(x)=2*e^(2*x)
ist eine Anwendung der Kettenregel.

 

[tao te]

... hier steht's auch:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d+a*(1-exp(-0.25*t))+/dt

 

[mithraldur]

Oder so:

f(t) = a*(1-e^-0,25t) = a - a*e^(-0.25t) = f1(t) + f2(t)

mit f1(t) = a
und f2(t) = -a*e^(-0.25t)


Simple Addition oder Substraktion ist ja keine Verkettung und die kannst du seperat aufteilen und ableiten.

d/dt f1(t) = d/dt a = 0 (das ist ja klar)

Für f2(t) = -a*e^(-0.25t)

folgt mit Substitution x(t) = -0.25t dann

f2(x) = -a*e^x

wobei f(t) = f(x(t)) ist (darum heißt das ganze ja Verkettung).

Die Ableitung von f nach t setzt sich dann aus den einzelnen Ableitungen von f nach x und von x nach t so zusammen:

df2/dt = df2/dx * dx/dt = d/dx (-a*e^x) * d/dt (-0.25t) = -a*e^x * -0.25 = 0.25*a*e^x = 0.25*a*e^(-0.25t)

und damit ist dann

df/dt = df1/dt + df2/dt = 0 + 0.25*a*e^(-0.25t)



Das ist die Arschlange Variante, aber wenn du die verstanden hast hast du die ganze Sache verstanden.
Wenn du das Prinzip mal kapiert hast, macht man das natürlich nicht mehr so umständlich sondern das geht dann alles automatisch im Kopf ganz schnell.


Hab grad deine Lösung gesehen, du hast es genauso mit ausmultiplizieren gemacht. Das ist auch gut so. Wenn du später Durchblick hast, setzt du den Part in der Klammer einfach auf null und musst das nicht mehr alles aufschreiben. Aber vom Prinzip her spricht da nichts dagegen.

 

[ML95]

Ok, ein großes Dankeschön nochmal an alle.

Finde es wirklich top, wie schnell und ausführlich man hier Hilfe bekommt (naja, das wäre wohl eher was für die Feedback-Abteilung )

Dann kann die Mathe-Klausur gleich ja kommen

Ergänzung (21. Februar 2013)

Hallo nochmal,

heute in der Klausur ist mir schon wieder das selbe passiert, dass ich einfach total auf dem Schlauch stand bei einer Ableitung. Sie lautet so:



Hier sollen wohl Produkt- und Kettenregel Anwendung finden, aber ich hatte überhaupt keine Idee, wie ich anfange, wie ich weitermache und dann zusammenfasse. Glücklicherweise sind bei solchen Dingen immer Kontrollergebnisse dabei.

Könnte mir jemand evtl. noch einmal sagen, wie hier eine Ableitung zu bilden ist oder wie man generell Funktionen dieser Form ableitet, da gibt es doch bestimmt eine Schrittigkeit, die man einhalten sollte?

Vielen Dank schonmal.

 

[simpsonsfan]

1. Ausmultiplizieren - 0,5(4t+9)*e^(-1/9*t) = 2t*e^(-1/9*t) + 4,5e^(-1/9*t)
2. einfacheren Summand ableiten - f'(t) = (2t*e^(-1/9*t))' + -1/2*e^(-1/9*t)
3. Produktregel vorne - (2t * e^(-1/9*t))' = 2t * (e^(-1/9*t))' + (2t)' * e^(-1/9*t)
= 2t * (-1/9 * e^(-1/9*t)) + 2 * e^(-1/9*t)
4. zusammenfassen
f'(t) = -1/2 * e^(-1/9*t) - 2/9t * e^(-1/9*t) - 2 * e^(-1/9*t)
= (1,5 -2t/9) * e^(-1/9*t)

 

[ML95]

@simpsonsfan

Hey danke.

Ich habe mich vorhin (als ich deinen Post noch nicht gelesen hatte) nochmal hingesetzt und es versucht. Nun habe ich es hinbekommen. u(t) mit der Kettenregel abgeleitet und v(t) = e^ax ist abgeleitet ja immer a*e^ax. Dann Produktregel angewandt:



Irgendwie lassen mir solche Dinge keine Ruhe, bevor ich nicht weiß wie man es rechnet. Bringt mir zwar für die Klausur nix mehr, aber für die nächste bestimmt