Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten

[Lomoch]

Hallo zusammen,

eigentlich bin ich nicht schlecht in Mathe ... (Schnitt 1,6 und 1.Preis im LWMB)... aber ein bisschen eingerostet und mit schlechten erklärungen im Buch und einem Lehrer, der meint, wir sollten uns das Kapitel selbst aneignen und der nichts erklärt, stehe ich gerade auf dem Schlauch:

Es geht um ein Gleichungsystem mit 3 Unbekannten:

Bsp aus dem Buch:

1. 6x+y-3z=9
2. 2x+2y-z=3
3. 5x-4y-4z=0

ein weiteres Beispiel:

1. x+y+z=12
2. x-y+z=4
3. x-y-z=-6

bei letzterem habe ich so angesetzt:

Ich habe 1. in 2. Eingesetzt

1' ... z=12-x-y

das habe ich in die 2. Gleichung eingesetzt, da kam dann x+y=-4 raus (klang noch plausibel)

dann habe ich 1. in 3. eingesetzt, da komme ich auf x=-18

dann setze ich die zwei neu entstandenen Gleichungen ineinander ein:

-18+y=-4
--> y=14

Aber das ist nicht als Lösung im Buch angegeben also frage ich mich: Was mache ich falsch !?

Wäre nett, wenn sich jemand meiner Annehmen könnte :-)

Vielen Dank für eventuelle Antworten und liebe Grüße

Lomoch

 

[~H!ld3~]

Hab das auch schon länger nicht gemacht.
Aber so kurze Frage, kommt bei der oberen Aufgabe y=0 raus ??
Nur damit ich weiss ob ich auf dem richtigen weg bin^^

 

[Zweipunktnull]

 x+y+z = 12
 x-y+z = 4
 x-y-z = -6

 x+y+z = 12     => x = 12-y-z = 3
   -2y = -8     => y = 4
-2y-2z = -18    => z = (-18+2y)/(-2) = 5

Stimmen meine Ergebnisse mit denen des Buchs überein? Du musst einfach mithilfe des Additionsverfahren das LGS auf Dreiecksform bringen, also das in der unteren Gl. nur 1, ein der mittleren 2 und in der obersten 3 Variablen stehen.

 

[Jace]

@H!lde hab ich uach raus bei der oberen

@topicersteller
Mit dem Gaußalgorithmus bekomme ich raus

x = 3
y = 4
z = 5

Wenn die Ergebnisse stimmen, weißte ja was du zu tun hast.

 

[Micky1980]

Nunja, wenn man 1tens ins 2tens einsetzt, stehen bei dir in der entstehenden Gleichung auch 3 Variablen. Allerdings müsste dann mindestens eine wegfallen. Sonst hast du entweder falsch gerechnet oder falsch gewählt.

MfG Micky

 

[1668mib]

Lösung für das erste Beispiel:

A) 6x+y-3z=9
B) 2x+2y-z=3
C) 5x-4y-4z=0

2*A - B = A') 12x - 2x + 2y - 2y - 6z +z = 18 - 3
A') 10x - 5z = 15
A') 2x - z = 3
2*B + D = B') 4x + 5x + 4y - 4y - 2z - 4z = 6 + 0
B') 9x - 6z = 6
B') 3x - 2z = 2

2*A' - B' = A'') 4x - 3x - 2z + 2z = 6 - 2
=> x = 4


x in A' eingesetzt:
2x - z = 3 => -z = 3 - 2x => z = 2x - 3 => z = 8 - 3 => z = 5

x, z in B eingesetzt:
2x + 2y - z = 3 => 8 + 2y - 5 = 3 => 3 + 2y = 3 => 2y = 0 => y = 0

Test:
A) 6*4 + 0 - 3*5 = 24 - 15 = 9 ... korrekt
B) 2*4 + 0 - 5 = 8 - 5 = 3 ... korrekt
C) 5*4 + 0 - 4*5) = 20 - 20 ... korrekt



Die Idee ist halt am Anfang zu schauen, durch welche Gleichungsadditionen man einfach Variablen "eliminieren" kann...
Da bietet sich eben y an, weil die Faktoren 1, 2 und 4 sind (Vorzeichen mal außer Acht gelassen)... man kann es aber auch "stur" ohne solche Berücksichtigung machen.

 

[elbarto111]

geht natürlich auch mit determination, aber für so ne aufgabe bisl zu lang^^

 

[Lumpieee83]

Wieso? Das Determinantenverfahren geht doch am schnellsten. Wenn man das Determinantenverfahren beherrscht, dann brauchst du den ganzen Quark wie Gleichsetz- Einsetz- und Additionsverfahren doch garnicht mehr. Mag zwar teilweise nicht ganz einleuchtend sein (aber ich verspreche: Irgendwann fällt bei jedem der Schalter und es macht klick) aber es ist universell anwendbar.

 

[1668mib]

Wichtig ist, dem Schüler das beizubringen, was ihn weiterbringt - und das ist das, was der Lehrplan verlangt...

 

[Lumpieee83]

Jo ist an sich ja auch richtig. Ist ja nur ein Tip für später um es sich ein bisl einfacher zu machen. Ok ich setz mich wieder hin. Trägste mich jetzt ins Klassenbuch ein? Bitte nich!

Ich hab letztens erst aufgrund meiner Elektrotechniker- Teilzeitform- Ausbildung eine Arbeit über Determinanten schreiben müssen. Auf die ganzen anderen Lösungsverfahren also Add, Gleich und Einsetzverfahren hat er ganz verzichtet (haben wir nur kurz wiederholt). Determinanten-Lösungswege sind halt die "Allrounder". Aber mach das mal nach Lehrplan ich will ja niemanden verrückt und duselig machen

 

[Lomoch]

Hallo zusammen,

vielen Dank für Eure Antworten.

Wichtig ist, dem Schüler das beizubringen, was ihn weiterbringt - und das ist das, was der Lehrplan verlangt...

...ob das so stimmt bezweifle ich manchmal. - so mögen sehr viele Lehrer denken...

--> Ich bin generell für andere Lösungsmethoden sehr dankbar und für erklärungen auch gegen "alternative" Lösungswege habe ich nichts.

Wir haben nur einen Mathelehrer der meist der Meinung ist, dass die im Buch meist nicht so toll erklärten Verfahren auszeichen, um das zu verstehen. Dann gibt er einfach Hausaufgaben auf, nachdem er den tollen "gelben Kasten" laut vorgelesen hat. Auf den Hinweis hin, dass wir mehr erklärung benötigen, meint er er hätte das im Buch nocheinmal aufbereitet und das wäre ja schließlich genug.


Jetzt zu Euren Ergebnissen:

@~H!ld3~

Das kann sein - es gibt eine Lösungsmenge mit 0

@Computer Freak

Danke.... Ja - Diese Lösungsmenge gibt es ... Kannst du mir das mit der Dreiecksform noch einmal genauer erklären...

@1668mib

Ja... Danke stimmt auch, d.h. das ist eine Mögliche Lösung. Nur den Lösungsweg muss ich noch durchdringen, ist mir aber Grundlegend klar.

@Lumpieee83

Ich bin generell sehr an - sagen wir - dem Lehrplan gegenüber "alternativen" Lösungsmöglichkeiten interessiert und würde die auch gerne können .... und duselig machst du damit keinen - also mich jedenfalls nicht. Und ob alles, was der Lehrplan von sich gibt so das gelbe vom Ei ist bezweifle ich manchmal stark.

Beispiel:

Habt ihr euch schonmal die schriftliche Subtraktion in den Grundschulen angeschaut (Bayern), da war die alte sehr viel einfacher als das neue, finde ich.

In fast ganz Deutschland zählt in der Schule die "Null" zu den nat. Zahlen... aber in Bayern... nicht ... klasse, ge !?

@Jace

Scheint auch zu stimmen Danke... Jetzt muss ich mir doch auch das Gaußverfahren mal näher anschaun ...

@all

Was ist das Determinationsverfahren !? Kann mir das mal jemand erklären evtl... ?


Liebe Grüße

Lomoch

 

[Jirko]

Ähäm, mal ganz langsam. In welche Klasse gehst du? Es hat, finde ich, wenig Sinn, den Gaußalgorithmus oder die Cramer'sche Regel hier breitzutreten. Nicht für LGS mit drei Unbekannten, die durch quer drübergucken schon fast lösbar sind.

Gauß ist da noch ganz gut, aber nur, wenn du das LGS in eine erweiterte Koeffizientenmatrix übertragen willst. Für die Determinantenmethode müsstest du erstmal die Determinanten von Matrizen berechnen können, was nur vor dem Hintergrund leichter LGS auch etwas übertrieben ist.

Für sinnvoll halte ich - bis zum Abi übrigens - das abgespeckte Gauß-Verfahren. Es geht imho immer recht leicht, die Gleichungen in Dreiecksform zu bringen.

Das heißt, du versuchst, die Gleichungen so zu addieren/subtrahieren, dass in der untersten nur noch die letzte Variable drin steht (in deinem Fall z). In der zweiten stehen noch y und z drin und in der oberen x,y und z. Du kannst die Variablen dann von unten nach oben einsetzen und erhälst so die Lösung.

Das klappt eigentlich immer recht gut und ist sehr zielführend, wenn auch nicht immer am schnellsten. Es ist aber verständlich, was man machen soll.

Vom Einsetzen halte ich nicht soo viel. Das kann schnell gehen, hat am Ende aber nicht mehr viel mit beispielsweise dem Gaußalgorithmus zu tun. Konzentrier dich auf das Addieren, Multiplizieren oder Verstausen von Zeilen. Ist auch weniger fehleranfällig.

 

[Lomoch]

Also ich gehe im Moment in die 9. Klasse eines bayrischen Gymnasiums. Ist schon G8 (also 8-jähriges Gymnasium)... Was Mathe angeht bin ich eigentlich recht gut (Schnitt 1,6 und naja^^ siehe oben) und auch sehr interessiert an Lösungsverfahren, die evtl. über den Lehrplan hinausgehen.

Das heisst, dass das man mit dem Gaußverfahren so lange Gleichungen umstellt, subtrahiert, addiert, bis man nur noch eine Variabel übrig hat. --> Klingt nicht so schwer werde ich gleich mal ausprobieren und dann mal schaun, ob das zum Erfolg führt.

An dem Einsetzungsverfahren hänge ich manchmal ein bisschen. Obwohl es mir eigentlich klar ist was zu tun ist, habe ich immer falsche Ergebnisse ... also mal das Gaußverfahren ausprobieren.

Solang unser Mathelehrer nicht wieder irgendeinen dummen spruch al la "Zum Lösen der folgenden Aufgaben sind die im Unterricht behandelten Lösungsverfahren/und -wege anzuwenden." über die nächste Schulaufgabe schreibt, ist mir alles Recht... wenn ich das Gaußverfahren verstehen sollte, dann frage ich ihn am Montag mal, ob er was gegen die Anwendung hat.



Liebe Grüße

Lomoch

 

[1668mib]

In fast ganz Deutschland zählt in der Schule die "Null" zu den nat. Zahlen... aber in Bayern... nicht ... klasse, ge !?

Null ist auch keine natürliche Zahl - zumindest in der klassischen Definition der natürlichen Zahlen.
|N = {1,2,3,4....}
Wenn die Null dazuzählen soll, spricht man meist von |N-Null, also ein |N mit einer 0 im Index...

 

[Zweipunktnull]

In der neunten Klasse macht ihr schon LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten? Das hatten wir erst in der zwölften Stufe (Mathe-LK wohlgemerkt). In der Mittelstufe hatten wir nur 2x2 LGS. Und die sind ja wesentlich einfacher, weil man dort in der Tat nur eine Gl. umstellen und einsetzen muss. Finde ich jetzt schon irgendwie heftig, dass ihr sowas schon in der 9. macht und wir als LK erst drei Jahre später.

Die Dreiecksform hat Silver jetzt ja schon näher erklärt.

 

[Lomoch]

Naja *ironie on* wir sind doch Bayern und auch noch G8... also sind wir ja viel schlauer und da macht man sowas schon in der 9. Klasse... *ironie off*

Manchmal ist das wirklich ein bisschen übertrieben, aber man kann ja nichts dagegen tun. Und ein Lehrer, der naja..., dann macht das das ganze nicht gerade einfacher. LGS 2/2 war 8. Klasse - jetzt sind die 3/3 an der Reihe...

Bei uns soll es keine LKs mehr geben... mal gespannt, was uns erwarten wird...

Wir haben komplett neue Lehrpläne - theoretisch zumindest, d.h. wenn wir glück haben, haben wir bei Schulbeginn im September die Bücher vllt. so bis das letzte eingetroffen ist, wird es nicht selten Dez-Jan

In Biologie sind wir jetzt schon bei den ganzen Aminosäuren und der Genetik usw... unser Biolehrer hat beinahe identische Abfragen für uns und seinen LK ... .


Liebe Grüße

Lomoch

 

[Drankolz]

ja, die Erfahrungen konnte ich auch machen mit G8.
Aber unsre Bücher warn meist bis November da

 

[Jirko]

Die Lösungsverfahren sind recht gut auf Wikipedia erklärt. Guck da doch mal nach linearen Gleichungssystemen, da steht ziemlich viel drin.

Und Gauß ist im Prinzip das, was man auch in der Neunten schon lernt. Es ist ein Algorithmus auf Basis elementarer Zeilenumformungen. Es steckt nur halt System hinter dem Lösungsweg.

LG mit drei Umbekannten halte ich jetzt übrigens nicht für sooo anspruchsvoll. Sollte in der Neunten in jedem Fall drin sein. 12 LK ist jedenfalls übertrieben spät. Vielleicht als dritte Wiederholung.

Frag jedenfalls einfach, wenn es Probleme gibt. Man kommt sich immer nicht mehr ganz so doof vor, wenn man anderen noch helfen kann.

 

[Lomoch]

@Drankholz: ich finde das schlimm...

@Silver: Gauß habe ich schon was gefunden... ist eigentlich ganz sinnvoll, ich muss morgen mal unseren mathelehrer fragen.

Sooo schwer ist das ja auch nicht...

Klar... wenn noch mehr Probleme auftauchen melde ich mich

Liebe Grüße

Lomoch