[Informatik] Zahlensystem erkennen anhand von Gleichung?

[trauergraf]

Hoi,

lerne grade für die Uni-Prüfung demnächst Zahlensysteme. Umrechnen klappt schon ganz gut, zu mal es eine OpenBookPrüfung ist ;D... Allerdings bin ich jetzt des öfteren im Internet bei Übungen zu Zahlensystemen auf eine andere Aufgabenstellung gestoßen, mit der ich nichts anfangen kann.

Folgendes rechnet jemand richtig, aber in einem anderen Zahlensystem:
33 + 14 = 102

Ich komm einfach nicht drauf, wie man so eine Aufgabe angehen soll, außer wild versuchen es in verschiedene Zahlensysteme auf Verdacht umzurechnen^^... Kann mir jemand auf die Sprünge helfen (ich bin echt eine ziemliche Mathe-Niete )

 

[HominiLupus]

Die höchste Zahl hier ist 4, also muss das Zahlensystem auf Basis 5 oder höher sein.
Das Wichtigste sind aber die letzten Stellen der Rechnung: in welchem Zahlensystem gibt 3 + 4 die Zahl 2 plus Übertrag?
Wieder im Zahlensystem von 5, dort gibt 3+4 = 12

 

[Egon82]

Nun du brauchst nen Zahlensystem bei dem 3 + 4 (die Einerstellen) zusammen nen Übertrag haben und danach wieder auf 2 kommen.
3 + 4 = 7, um da auf 2 zu kommen muss man 5 abziehen ==> 5er System.

 

[xbrtll]

Allgemein stellenweise von hinten betrachten und a + b - c ausrechnen. Falls das Ergebnis positiv ist, ist das die einzige infrage kommende Basis. Du kannst noch nachrechen, ob damit tatsächlich Gleichheit gilt. Anderenfalls ist das Ergebnis 0 (sonst kann die Gleichheit nicht gelten). In dem Fall eine Stelle weiter vorne wiederholen. Kommst du ganz am Anfang an, gilt die Gleichheit bezüglich jeder Basis, die größer als die maximal vorkommende Ziffer ist.

Alternativ gleich komplett a + b - c (stellenweise!) berechnen, hier also (0,3,3) + (0,1,4) - (1,0,2) = (-1,4,5). Letzte nicht-null muss positiv sein und ist die gesuchte Basis. Der Rest muss mit Überträgen aufgehen.

 

[Freezedevil]

Du kannst dir eine Gleichung erstellen in der du die Basis als Unbekannte hast. Diese musst du nur lösen und fertig. Zu deinem Beispiel währe die Gleichung:
(3x+3) + (x+4) = x^2+2
Wenn du diese (in dem Fall quadratische) Gleichung löst erhältst du x1=-1 x2=5. Also kommt nur 5 in Frage.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3*x+3+x+4=x^2+2

 

[xbrtll]

Damit formulierst du das Problem nur in ein schwierigeres um und hast dafür im Allgemeinen (bei quadratischen Gleichungen geht das ja noch, aber nimm mal ein paar Stellen mehr...) keinen sinnvollen Lösungsansatz mehr.

 

[Plaste]

Irrtum xbrtll !!

Es ist einfach und nachvollziehbar, wenn man weiss woher das Quadrat genommen wurde

Spoiler

Einfach mal angucken und feststellen das von rechts nach links die Exponenten 0,1,2,3,4.... sind

 

[xbrtll]

Natürlich ist die Umformulierung einfach und nachvollziehbar, sie hilft nur im Allgemeinen nicht beim Lösen der Problems...

 

[Plaste]

Hab den Spoiler angehängt

 

[xbrtll]

Und wie kommst du nun von da zu einer Lösung?

Du kannst natürlich dann in meinen vorgeschlagenen Weg wechseln, denn die Koeffizienten sind gerade die Stellen von a+b-c. Aber dann kannst du dir das Polynom als Zwischenschritt gleich sparen.

 

[Plaste]

Geht es jetzt um mögliche Lösungen oder willst du einfach nur Recht haben?

Ja, du hast Recht.

So jetzt fehlt nur eine Lösung auf Basis der kosmischen Konstante

 

[xbrtll]

Wäre das eine klausurtaugliche Lösung (darum geht es ja hier), hätte ich damit überhaupt kein Problem. Das Problem ist eben, dass sich die Nullstellen von Polynomen höheren Grades nur noch unter Zusatzbedingungen explizit bestimmen lassen.

 

[black90]

Steig auf eine FH um, da lernst wenigstens Dinge die man in der Praxis braucht
Zumindest besteht der pure Mathe Teil aus 3 Modulen, der Rest ist Logik.

 

[Daaron]

Die mathematisch korrekte Methode führt aber schlichtweg über die Exponenten, begründet daraus, wie man diese Zahlensysteme aufbaut.
(3*x^1 +3*x^0) + (1*x^1+4*x^0) = (1*x^2)+(0*x^1)+(2*x^0)
Egal, welches Zahlensystem du hast: du hast deine Zahlenbasis x und deine Faktoren. Die Exponenten steigen von rechts nach links an.

Es ist übrigens kein Widerspruch, wenn du am Ende ein Polynom sehr hoher Ordnung hast, und selbiges n ganzes Rudel möglicher Lösungen liefert. Solange die Lösung ganzzahlig und positiv ist, und außerdem noch die Gleichung in diesem System wirklich aufgeht, kann dir keiner an die Karre fahren.

 

[Magogan]

In dem Fall geht Ausprobieren aber deutlich schneller. Also erstmal ein paar Basen ausprobieren und wenn das zu keiner Lösung führt, dann erst ein Polynom daraus machen und das lösen.

 

[Daaron]

Nimmt dir in der Prüfung nur keiner ab. Du weißt doch, wie es läuft:
Richtige Lösung: 1 Punkt
Vollständiger Lösungsweg: 9 Punkte

 

[xbrtll]

Die Nullstellen des Polynoms (bzw. die relevante) lassen sich in einer Prüfungssituation auch nur durch "raten" herausfinden. Das ist natürlich sehr einfach, weil die Koeffizienten eben gerade die angesprochene Struktur haben (der zum kleinsten auftauchenden Exponenten ist die Basis). Aber man kann sich den Weg eben sparen. Nachrechnen kann man das Ergebnis ja zur Sicherheit auch noch (schriftliche Addition und so...).

Und ja, richtiges Ergebnis "raten" und verifizieren ist in Klausuren natürlich erlaubt, sofern nicht explizit ein anderer Lösungsweg verlangt ist.

 

[trauergraf]

Danke erstmal für die zahlreichen Antworten. Da ich wie gesagt eine Matheniete bin und zum Teil Schwierigkeiten habe überhaupt nachzuvollziehen, was manche hier versuchen zu erklären, habe ich mir jetzt mal die auf Anhieb einleuchtenste Lösung gesucht:

Allgemein stellenweise von hinten betrachten und a + b - c ausrechnen. Falls das Ergebnis positiv ist, ist das die einzige infrage kommende Basis. Du kannst noch nachrechen, ob damit tatsächlich Gleichheit gilt. Anderenfalls ist das Ergebnis 0 (sonst kann die Gleichheit nicht gelten). In dem Fall eine Stelle weiter vorne wiederholen. Kommst du ganz am Anfang an, gilt die Gleichheit bezüglich jeder Basis, die größer als die maximal vorkommende Ziffer ist.

Alternativ gleich komplett a + b - c (stellenweise!) berechnen, hier also (0,3,3) + (0,1,4) - (1,0,2) = (-1,4,5). Letzte nicht-null muss positiv sein und ist die gesuchte Basis. Der Rest muss mit Überträgen aufgehen.

Diese Methode würde ich gerne nutzen und ist mir bisher neu. Ich denke außerdem, dass ein vollständiger Rechenweg (wie unten erwähnt) nicht zwingend erforderlich ist.

Angewandt auf ein weiteres Beispiel an dem ich grade sitze:
39
+ 12
= 53

Wäre also hier: (0,3,9) + ( 0,1,2) - (0,5,3) = (0,-4,8) -> 8er System !?
Das ist ja mega einfach zu merken! <3 Danke!

 

[xbrtll]

Nicht ganz. Richtig gerechnet hast du soweit (vom Tippfehler -4 mal abgesehen), wegen der letzten Stelle käme lediglich die Basis 8 infrage. Damit geht aber der Rest nicht auf (9 ist keine erlaubte Ziffer), also gilt die Gleichheit bezüglich keiner Basis.

Ergänzung: Wenn man die 39 zur Basis 8 als 41 zur Basis 8 liest, passt alles.