Da die Grafikkarte gratis war, würde ich sie auf jeden Fall mal etwas genauer unter die Lupe nehmen an deiner Stelle. Zuerst einmal würde ich die Grafikkarte noch bei einem Bekannten testen, um das Netzteil zu 100% auszuschließen. Als nächsten Schritt würde ich den Kühler abbauen und die Platine bzw. deren Bauteile auf Beschädigen überprüfen. Falls sie sonst läuft außer unter Last, dann könntest du versuchen, dass du sie mit "Backen" temporär reparierst. Du wirst sie aber jedoch nicht dauerhaft hinbekommen, da das Richtige Equipment für so einen Vorgang leider viel zu teuer ist. Beim Backen würde ich mir an deiner Stelle einen Ofen mit funktionsfähigen Thermostat und Umluft vom Bauhof holen, da ich aus gesundheitlichen Aspekten meinen Ofen für sowas nicht nutzen würde. Bei gewissen Temperaturen setzt der PCB-Lack gewisse Gase frei und auch andere Stoffe. Außerdem hast du das Risiko, dass gewisse Bauteile beschädigt werden könnten, aber da sie gratis war, würde ich das einfach mal als Experiment erachten! Am Besten mit so 180° Umluft und alles abbauen inklusive der Blende, da du sonst eine minimale Spannung auf die Platine bringst, welche nicht unbedingt sinnvoll in deiner Lage ist. Die Wärmeleitpaste ebenfalls sauber entfernen und beide Enden auf 2 Ziegelsteine legen, da diese nicht leitend sind und sich ziemlich gut für dieses Experiment eignen. Über die Bauteile würde ich ggf. Alufolie legen und nur den Chip freilassen, da sich unter diesem die BGA Balls befinden. Meistens kommt es bei diesen bei hohen Temperaturen zu kleinen Bewegungen und sie verlieren den Kontakt bzw. die Benetzung zum Chip. Mit etwas Glück kannst du dieses Problem mit Backen beheben. Beachte aber auch die Risiken und auf deine Gesundheit!
Da die Grafikkarte startet und den Treiber nimmt kannst du auf jeden Fall davon ausgehen, dass die Bauteile funktionsfähig sind. Ggf. die Kondensatoren überprüfen, falls du die Möglichkeit dazu hast. Welches V-BIOS befindet sich denn auf der Grafikkarte und wurde sie schon mal geöffnet?