Verständnisfrage Ableitung

[ProfessX]

Hallo,

nur eine kleine Verständnisfrage. Es geht um das Thema Differentialrechnung.

Hier haben wir eine Aufgabe;:

f(x)=-x^2+4x

Zeigen Sie: Eine Tangente an Kf schneidet die Gerade y=x senkrecht.

Man soll die Funktion der Tangente aufstellen.

Zunächst mache ich die Ableitung f'(x)=-2x+4. Jetzt haben wir in der Schule 2x+4 mit -1 gleichgesetzt.

Meine Frage ist warum. Die Senkrechte von y=x hat die Steigung -1 also die Funktion müsste lauten: -1x+b, soweit bin ich bisher. Wie ich b später ausrechne weiß ich, aber vorher muss ich ja einen x und y -wert haben,also den Schnittpunkt mit der Parabel, aber den X wert kriege ich ja nur wenn ich beide Funktionen miteinander gleichsetze, die eine habe ich aber noch nicht vollständig ...

Also wieso setzt man jetzt die Ableitung der Parabel mit -1 gleich und bekommt den X-Wert des Berührpunktes?

Fragt man dadurch, an welcher x-Stelle der Parabel die Steigung -1 hat?

Danke

Es geht um die gelbe Gerade (habe ich mit Paint eingezeichnet)

Ergänzung (15. Oktober 2015)

Und ist es ein Zufall dass wenn man die gelbe Gerade (Lösung der Aufgabe ist: -x+6,25) und die Parabel gleichsetzt 2,5 rauskommt

und deren beiden Ableitungen -1 und -2x+4 gleichsetzt ebenfalls 2,5 rauskommt?

 

[7H0M45]

Durch diese Tangentenfunktion (1. Ableitung) erhälst du eine Funktion die dir die Steigung (der Tangente) am Punkt x anzeigt.

Du hast richtig erkannt, dass die Steigung der Senkrechten -1 sein muss. Somit kannst du dir den x Wert errechnen, an welchem deine Funktion die Steigung -1 hat. (Ableitung mit -1 gleichsetzen)

Eine Geradengleichung lautet allgemein: y = m*x+t (evtl. auch andere Buchstaben)

Durch die Information über die Senkrechte hast du deine Steigung (m), den x Wert hast du aus der Ableitung, den y Wert bekommst du aus deiner Funktion, und t kannst du dir jetzt einfach errechnen


Zu deiner Ergänzung: Ja, siehe meine Erklärung oben.

 

[kasir]

Die Senkrechte von y=x hat die Steigung -1

Das ist falsch.

Also wieso setzt man jetzt die Ableitung der Parabel mit -1 gleich und bekommt den X-Wert des Berührpunktes?
Fragt man dadurch, an welcher x-Stelle der Parabel die Steigung -1 hat?

Richtig!

Ergänzung (15. Oktober 2015)

Und ist es ein Zufall dass wenn man die gelbe Gerade (Lösung der Aufgabe ist: -x+6,25) und die Parabel gleichsetzt 2,5 rauskommt

Ja sicher! Überleg noch einmal genau. Eine Tangente hat GENAU einen Berührungspunkt mit einer Funktion. Dann ist klar, dass wenn du beide Funktionen gleichsetzt, genau und nur dieser Punkt herauskommt.

und deren beiden Ableitungen -1 und -2x+4 gleichsetzt ebenfalls 2,5 rauskommt?

Und nochmal - ja sicher! Das sollte aber klar sein, da du beide gleichgesetzt hast um x zu berechnen.

Du hast richtig erkannt, dass die Steigung der Senkrechten -1 sein muss.

Das ist keine Senkrechte...

 

[ProfessX]

Das ist falsch.

Wieso ist das falsch ? Ich rede ja von der senkrechten von y=x (also der gelben), quasi de schwarze Gerade um 90° gedreht

 

[kasir]

Das wäre -y=x oder y=-x, aber nicht x=y.

Also m=-1 für die gelbe Gerade ist richtig, aber die gelbe Gerade beschreibt -y=x und nicht y=x. Für h(x) gilt y=x.

 

[ProfessX]

Achso jetzt verstehe ich es.

Wir haben bisher nur die Steigung an einer gegeben X-Stelle berechnen müssen (also einfach nur ein Wert für x einsetzen in die Ableitung). Hier ist es einfach umgekehrt und eine Steigung ist gegeben und man muss die X-Stelle herausfinden. Manchmal ist es so einfach, dass man nicht versteht.

y=-x

Ja, das ist mir klar. Ich habe mich nur etwas missverständlich ausgedrückt. Eine senkrechte Gerade von der Funktion y=x ist y=-x.