Wahrscheinlichkeit der case fatality rate bei mehreren Personen?

[T_55]

Hallo,

ich will aus aktuellen Anlass ein einfaches Programm schreiben bzw ein Excel reicht locker auch. Dazu mal eine vermutlich triviale Mathe Frage zur Wahrscheinlichkeit wovon ich aber offensichtlich keine Ahnung habe bzw die Schulzeit scheinbar zu lange zurück liegt 🤔:

Die Wahrscheinlichkeit das jemand Corona nicht überlebt (case fatality rate) beträgt bei einer Altersgruppe x Beispielsweise 12%.

Nehmen wir an es infizieren sich 2 Personen mit jeweils einer cfr=12%, zu wie viel Prozent stirbt mindestens einer von Ihnen?
Ist 24% korrekt?

Nehmen wir an es infizieren sich 3 Personen mit jeweils einer cfr=12%, zu wie viel Prozent stirbt mindestens einer von Ihnen?
Ist 36% korrekt?

Ist es so trivial wie ich denke oder muss doch irgendwie multipliziert werden?

Gruß

 

[Stöf]

Wenn sich 100 infizieren sterben 12, dann kann es bei 3 nicht 36 sein.

 

[kuddlmuddl]

https://www.studienkreis.de/mathematik/vierfeldertafel-erstellen/

 

[fahr_rad]

Nicht addieren sondern Multiplizieren. Also statt 0,12 + 0,12 + 0,12 = 0,36 = 36% musst du 0,12 * 0,12 * 0 ,12 (oder 0,12^3) rechnen. Das ergibt dann 0,001728 also 0,1728%. Du könntest zB einfach mal nach Baumdiagramm suchen um es besser zu verstehen.

 

[T_55]

Aber die Wahrscheinlichkeit müsste doch nach meiner Logik steigen. Mal konkretes Beispiel:
Eine Wohngemeinschaft von 5 Leuten im gleichen Alter und somit der selben case fatality rate von zB 12%. Jetzt infizieren sich alle 5 Personen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass jetzt mindestens eine Person der Wohngemeinschaft stirbt müsste doch höher sein als die Individuelle Wahrscheinlichkeit oder?

 

[Tulol]

Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer 12%

Was du wissen willst ist Wieviele von den 5 sterben wenn sie sich infizieren.

 

[T_55]

Die Wahrscheinlichkeit bleibt immer 12%

Was du wissen willst ist Wieviele von den 5 sterben wenn sie sich infizieren.

Ja aber besser gesagt "Wieviele von den 5 sterben mit einer cfr von 12% wenn sie sich infizieren.

 

[dermatu]

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt beträgt 12% bei Person A
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt beträgt 12% bei Person B
jeder für sich betrachtet.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis bei mindestens einer von den beiden Personen eintritt ist insgesamt dann höher.

Ich kanns mathematisch nicht mehr begründen und ich komm mir deswegen auch richtig dämlich vor aber ich würde sagen es müsste so sein:

12% = 0,12
0,12²= 0,0144
0,12+0,0144 = 0,1344

Die Wahrscheinlichkeit, dass von beiden mindestens einer stirbt beträgt 13,44%

EDIT Das war falsch

 

[T_55]

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis bei mindestens einer von den beiden Personen eintritt ist insgesamt dann höher.

Genau da will ich drauf hinaus

Ergänzung (14. Oktober 2020)

Die Wahrscheinlichkeit, dass von beiden mindestens einer stirbt beträgt 13,44%

Der höhere Wert würde von meiner Logik schon mal passen. Allerdings "gefühlt" hätte ich fast sogar einen etwas höheren Wert erwartet

 

[dermatu]

Ja ich bin mir auch nicht sicher über die Zahl, nur dass sie größer sein muss. Die Frage ist nur um wieviel.
Ich denk mal drüber nach und versucht das irgendwie zu lösen.

 

[Aristotle]

Ja aber besser gesagt "Wieviele von den 5 sterben mit einer cfr von 12% wenn sie sich infizieren.

Jeder der 5 hat eine 12% Chance daran zu sterben. Das wird nicht mehr, es kann sein dass alle sterben oder auch keiner.

 

[florian.]

Bei 2 Personen gibt es ja 3 Mögliche Enden:
2 Überleben: 88%*88% = 77,44%
2 Sterben: 12% * 12% = 1,44%
Einer Stirbt: Der Rest, Formel fällt mir grad nicht ein, muss aber logisch 100% ergeben:
100% -77,44 -01,44 = 21,12%

edit: Zahlendreher Korrigiert

 

[mr hyde]

Dieser Sachverhalt lässt sich auf folgendes Problem reduzieren:
Sei p = 12 % die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ergebnisses (nur zwei Möglichkeiten: Treffer, oder kein Treffer), und wird der Versuch n mal (mit gleichbleibendem p) wiederholt, handelt es sich um einen Bernoulli Versuch.
Die Wahrscheinlichkeit P(X=k), dass bei n Versuchen k mal getroffen wird, beträgt P(X=k) = [n über k] * p^k * (1-p)^(n-k).

Beispiel: Würfelwurf, Erfolg = Werfen einer Sechs, Trefferwahrscheinlichkeit p = 1/6.
Wahrscheinlichkeit für das Werfen EINER Sechs bei EINEM Wurf (k=1, n=1): P(X=1) = [1 über 1] * (1/6)^1 *(5/6)^0 = 1 * 1/6 * 1 = 16,7%
Wahrscheinlichkeit für das Werfen ZWEIER Sechsen bei ZWEI Würfen (k=2, n=2): P(X=2) = [2 über 2] * (1/6)^2 *(5/6)^0 = 1 * (1/6)^2 * 1= 1/36.
Wahrscheinlichkeit für das Werfen GENAU EINER Sechs bei ZWEI Würfen (k=1, n=2): P(X=1) = [2 über 1] * (1/6)^1 *(5/6)^1 = 2 * (1/6) * (5/6) = 10/36.
Wahrscheinlichkeit für das Werfen MINDESTENS EINER Sechs bei ZWEI Würfen (n=2): Mindestens 1 bei zwei Würfen heißt k=1 und/oder k=2, also
P(X>=1) = P(X=1) + P(X=2) = 1/36 + 10/36 = 11/36.

Anschauliche Erklärung: Wenn ich zweimal würfle, gibt es 4 Möglichkeiten: a) Sechs und Sechs, b) Sechs und keine Sechs, c) keine Sechs und Sechs, d) keine Sechs und keine Sechs. EINE Sechs würfle ich sowohl im Fall b als auch im Fall c. Jeder dieser Fälle hat die WSK 5/6 * 1/6 = 5/36, dass sie eintreten. Diese Einzelwahrscheinlichkeit muss ich addieren, um zur GesamtWSK zu kommen: 5/36 + 5/36 = 10/36 (passt zur obigen Rechnung).

Ausgangstopic:
Todesrate 12%, also p = 0,12, n = 2
P(X=1) = 2 * 0,12^1 * 0,88^1 = 0,2112 = 21,12% ist die WSK, dass von 2 infiz. Personen 1 stirbt.
P(X=2) = 1 * 0,12^2 * 0,88^0 = 0,12^2 = 0,0144 = 1,44% ist die WSK, dass von 2 infiz. Personen 2 sterben.
P(X=1)+P(X=2) = 22,56% ist die WSK, dass MINDESTENS eine Person stirbt.

 

[T_55]

Ich glaube ich hab es anhand der Quelle geschafft:
https://www.mathe-online.at/lernpfade/KombinatorikundWahrscheinlichkeit/?kapitel=2
Zitat:
2.8 Mindestens einmal
Ist die Fragestellung:
Nenne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal bei x Durchläufen etwas zutrifft,
dann gilt:
Mindestens Einmal ist Eins minus kein Mal.
Beispiel:
Nenne die Wahrscheinlichkeit, dass bei 3 Mal würfeln mindestens einmal 6 erscheint.
Lösung:
1 - (5/6 · 5/6 · 5/6) = 0,42


Die 5/6 zeigen im Beispiel, dass man wohl das NICHT-auftreten der Sache in die Formel nimmt also 1.0-0.12 = 0.88
Dann nach der obigen Formel:
1 - (0.88 * 0.88) = 0.2256 = 22.56%

 

[mr hyde]

Bei 2 Personen gibt es ja 3 Mögliche Enden:
2 Überleben: 88%*88% = 77,4%
2 Sterben: 12% * 12% = 0,144%
Einer Stirbt: Der Rest, Formel fällt mir grad nicht ein, muss aber logisch 100% ergeben:
100% -77,4 -0144 = 22,44%

Fast richtig. Es sind 77,44%, 1,44% und damit 100-77,44-1,44=21,12.

 

[FreedomOfSpeech]

Nicht addieren sondern Multiplizieren. Also statt 0,12 + 0,12 + 0,12 = 0,36 = 36% musst du 0,12 * 0,12 * 0 ,12 (oder 0,12^3) rechnen. Das ergibt dann 0,001728 also 0,1728%. Du könntest zB einfach mal nach Baumdiagramm suchen um es besser zu verstehen.

Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 3 sterben, und nicht mind. einer.

 

[Crumar]

0,12^3 ist die Wahrscheinlichkeit das alle sterben.
0,88^3 die Wahrscheinlichkeit das keiner stirbt
1 - 0,88^3 ist dann die wahrscheinlichkeit, das mindestens einer stirbt (0.31)

3 durch beliebige Personen Anzahl ersetzen

 

[SpamBot]

Bitte Mal ein Mathe Buch lesen... Das kleine ein Mal eins musst du dir selbst beibringen. Stichwort: Reihenfolge, bei 0.12 x0.12 bedeutet es das ein Ereignis nach dem anderen erfolgen muss...

 

[mr hyde]

1 - (0.88 * 0.88) = 0.2256 %

Mit der Gegenwahrscheinlichkeit kommt man bei "mindestens 1" auch schnell zum Ziel, denn "mindestens 1" ist das Gegenteil von "keiner". Die WSK, dass keiner stirbt, ist, richtig, 0,88*0,88. Und damit die WSK, dass mind. einer stirbt, 1-0,88*0,88. Allerdings sind es dann 0,2256 = 22,56% (und nicht 0,2256%).

 

[dermatu]

als Ereignisbaum komm ich jetzt auf sowas:

Für Person 1 (erste Abzweigung) gibt es 12 Fälle in denen unser Ereignis Eintritt und für die verbleibenden 88 Fälle gibt es noch eine Person 2 in der ebenfalls bei 12 zu 88 Fällen unser Ereignis eintritt.
Wie man es jetzt aber richtig berechnet weiß ich nicht genau.

0,12 + 0,12 *0,88 ?

Das wären dann: 22,56 % ?

EDIT
OMG ich bin so stolz. Scheint richtig zu sein. Jetzt kann ich beruhigt schlafen gehen.