So etwas gibt es afaik nicht. Zumindest das WoL Feature ist mir bei HP/Cisco/Ubiquiti/TP-Link/Netgear nicht bekannt, warum auch? Ist ja nicht die Aufgabe eines Switches die Infrastruktur drum herum zu steuern, er soll nur vermitteln.
Du kannst so etwas aber recht günstig und stromsparend mit einem Raspberry Pi erledigen. Dort kannst zeitgesteuert per Crontab Befehle ausführen lassen wie z.B. per WoL ein anderes System zu wecken.
Ggf. kann aber auch der Server an sich automatisch starten. Bei einigen Systemen kann man feste Zeiten im Bios einstellen, dort würde ich mal suchen. So ein Feature kenne ich aber idR nur aus Consumer-Hardware denn "richtige" Server laufen ja idR durchgehend. Kommt also darauf an, was du hast bzw was für dich in dem Falle ein Server ist (Selbstbau oder nicht).
Link Aggregation: Das ist ein leider sehr allgemeiner Überbegriff und jeder Hersteller und jedes OS behandelt dies anders, Linux z.B. kennt vier verschiedene Link Aggregation Modi, eine einfaches Synology NAS immerhin noch derer vier. Ich gehe aber mal stark davon aus, dass du hier das am häufigsten vorkommende LACP meinst.
PoE: Welches darf es denn sein? Auch davon gibt es drei Standards: 802.3af (PoE), 802.3at (PoE+) und 802.3bt (PoE++). Je nachdem was deine Endgeräte sprechen, schränkt dich dies bei der Wahl der Switche ein.
Zeitgesteuertes PoE: Kann afaik auch kein Switch. Entweder ein Endgerät fordert Strom an und der Switch liefert oder eben nicht. Zeitgesteuert käme hier wieder der Raspberry Pi ins Spiel. Dieser könnte per Cronjob die Configs des Switches austauschen, setzt aber voraus, dass der Switch per SSH administrierbar ist und du dich in die Config reinarbeiten kannst und willst. Dann kannst je nach gewünschter Situation und Zeit die Configs austauschen.
Suche also den gewünschten PoE Standard heraus, denn du benötigst. Dann überprüfe ob deine Geräte, die du mit mehr als einer NIC anschließen willst, LACP beherrschen bzw das genutzte OS.
Dann nimm die Preissuchmaschine deiner Wahl, z.B. hier auf CB oder geizhals, idealo oder whatever und filtere auf die entsprechenden Einschränkungen.
Beachte hierbei auch die benötigte Anzahl an PoE Ports, es gibt Switche die nur ein Teil der Ports mit PoE beliefern.
Wenn du zeitgesteuert einen Backup-Server starten willst, stelle sicher, dass sich dieser auch wieder herunter fährt, wenn alle Clients fertig mit dem Backup sind.