Da fehlen wohl Infos z.B. zu deinem Browser, wie genau du den Link anlegst. Also bei meinem Firefox kann ich per Alt+Schlossymbol (neben der URL) auf den Desktop ziehen einen Link mit Icon von der aktuellen Seite anlegen. Wenn ich den dann in einen Ordner kopiere bleibt das Icon aber schon erhalten. (Auch unter Win11.)
Zur Not könnte man vermutlich das Icon als Bild herunterladen und dann manuell der Verknüpfung als Symbol zuweisen (nach Rechtsklick auf den Link-> Eigenschaften), aber wie gesagt, bei mir nicht nötig.
@Skudrinka: Ich mache das bei weniger IT-affinen Personen gern: Link zum Homebanking direkt auf Desktop. Erspart nicht nur 1 Klick, sondern v.a. die Gefahr, dass die Person doch bei Google nach ihrer Bank sucht und dann versehentlich auf einen Phishing-Link klickt...