Winkel des Graphen bei nicht ganzrationalen funktionen bestimmen

[Timmey92]

Hallo,
lerne grade fürs Abi (habe mich dazu entschieden in Mathe zu schreiben) und habe ein kleines Problem.
Ist eine Abiaufgabe aus dem Hamburger Abendblatt vom 3.9.08

Gleichung:

k(x) = 1/2a * (e^ax + e^-ax) - 1/a , a > 0

Intervall auf der X-Achse: von -640 bis 640

Punkte: B(-640|152), C(0|0), D(640|152)

Aufgabe:

Zu Wartungszwecken soll ein Wagen angeschafft werden, der bis zu einem Maximalen Steigungswinkel von 28,1° auf dem Trageseil der Brücke entlangfahren kann. Untersuchen und beurteilen Sie, ob der Wagen jeden Punkt der Trageseile zwischen A und E erreichen kann. (A und E werden garnicht durch die Gleichung beschrieben?)


Um die Aufgabe zu lösen muss ich eigentlich nur den maximalen Winkel des Graphen bestimmen und schauen ob das größer oder kleiner ist als 28,1°.
Wie mache ich das?
Stichworte reichen mir eigentlich schon ... soll ja lernen sein, daher will ich keine komplette Lösung.

Grüße

 

[Dr. Greg House]

Ich bin schon etwas raus aus dem ganzen Kram aber "maximaler Winkel des Graphen" hört sich für mich nach Wendepunkt an.

Also 2. Ableitung herholen mit der Kettenregel.

Kleiner Anhaltspunkt um zu erkennen ob du alles richtig gemacht hast: Du müsstest mindestens 2 Wendepunkte herausbekommen.

 

[Sherman123]

Die Steigung einer Funktion entspricht ihre ersten Ableitung.
Die Steigung dx/dy zeichne in ein kleines Dreieck ein: Winkel zur x-Achse= tan^-1((dy/dx)/1)

Jetzt musst du nur noch die Stelle finden, an der die Funktion die größte Steigung hat.


EDIT: Formel ausgebessert.

 

[Timmey92]

Hey danke für die Formel (und das mit der Wendestelle).

Was soll dx und dy darstellen?

 

[Dr. Greg House]

Ich glaub, dass ist einfach ´ne zeichnerische Möglichkeit den Wendepunkt zu finden: Graph der ersten Ableitung und da den Hochpunkt (bzw. allgemein Extrema) ablesen.
Bin mir aber nicht sicher ob es das ist was er meinte.

Generell ist die rechnerische Methode immer der zeichnerischen Vorzuziehen, wenn man wie hier und sonst auch immer, ein genaues Ergebnis braucht.
Es ist aber auf jeden Fall notwendig bei jeder Aufgabe mit einer Skizze, die sich im Laufe der Aufgabenbearbeitung erweitert, zu arbeiten.

 

[Sherman123]

2. Ableitung Nullsetzen --> du erhältst jene Punkte, an denen die Steigung ein lokales Maximum hat.

Für die Steigung: Dann bilde die erste Ableitung dieser Funktion und setze die Stelle des lokalen Maximums ein.


Aus der Zeichung unten geht die richtige Verwendung der Winkelfunktionen hervor. Die Steigung deiner Funktion entspricht hier k.

alpha=tan^-1(k/1) wobei k die erste Ableitung deiner Funktion ist mit der Stelle des lokalen Maximums eingesetzt.

tan(alpha)=gegenkathete/ankathete

 

[Airbag]

Was soll dx und dy darstellen?

Das ist eine gängige Schreibweise für die Ableitung

d=delta
In dem Fall der Ableitung ist es die momentane Änderungsrate und somit die Steigung.