1. Nein, komplett falsche Generation und Sockel
2. Google -> z77x-ud3h ->
https://www.gigabyte.com/Motherboard/GA-Z77X-UD3H-rev-10/support#support-cpu
Ist dort nicht gelistet, daher nein
Edit: zu spät
Das Mainboard hat einen Sockel 1155 (witzigerweise hab ich genau das gleiche Mainboard noch hier rumliegen). Das Maximum was da noch geht ist der 3770(K).
Danach kam Haswell&Broadwell (4xxx/5xxx) mit dem Sockel 1150.
Dann kam Skylake/Kabylake (6xxx/7xxx) mit 1151v1,
dann Coffelake/Coffelake Refresh (8xxx/9xxx) mit 1151 v2 (der zumindest ohne weiteres nicht kompatibel zu 1151v1 ist)
(danach kamen noch Comet Lake und Rocketlake auf 1200 und jetzt halt AlderLake auf Sockel 1700)
Der i5 9400F (9 am Anfang) ist aus der Coffelake Refresh Generation (9xxx) und damit gut 6 Jahre jünger als Z77 Mainboards bzw. die 3xxx Serie.
Du bräuchtest also dafür dann ein neues Mainboard, was allerdings nicht sehr sinnvoll erscheint insofern, als dass Sockel 1151 v2 auch 'veraltet' ist. Das gilt natürlich nur für den Fall eines Kaufes. Falls du den 9400F geschenkt bekommen hast, kann das durchaus trotzdem Sinn ergeben ein Mainboard dazu zu kaufen.
(bräuchtest dann aber halt auch DDR4 RAM statt DDR3 wie beim Z77X)
Gibt ja sogar noch einige, die verkauft werden:
https://geizhals.de/?cat=mbp4_1151v2&v=e&hloc=at&hloc=de&sort=p&bl1_id=30
Für 70-80€ aufwärts gibts auch Mainboards mit Kühlkörpern auf den Spannungswandlern.