Bin zu doof... Mathe 3. Klasse

[CyborgBeta]

Hier ist die Aufgabe auch noch mal etwas anders:

Der "Trick" ist also, dass wir wissen, dass nach dem Pascalschen Dreieck jede Reihe die Summe 86 hat, und man so die Summe für h+i kennt. Danach ist es nur noch einsetzen.

 

[Drakrochma]

Hat jede Reihe 86?
E ist in B und in C, daher müsstest du aber in deiner Beschreibung aufnehmen, dass jede Zahl, die nicht am Rand steht, doppelt gezählt werden muss.
Oder?

 

[CyborgBeta]

Hat jede Reihe 86?

ja, wenn man mit

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

(Pascalsches Dreieck)

multipliziert.

 

[Drakrochma]

Okay, das kam zumindest für mich oben nicht ganz so deutlich raus

 

[CyborgBeta]

das kam zumindest für mich oben nicht ganz so deutlich raus

Für mich eigentlich auch nicht, das liegt aber daran, dass Mathe 1 bei mir schon länger her ist.

Konnte es eigentlich ein Kind (durch geschicktes Probieren) lösen? Weil, wenn nicht, dann sollte das eine Überhangpunkteaufgabe sein.

Sprich, die 1+ (oder 1🌻 ? 🤔 ) dann schon mit 90 anstatt 100 Punkten (oder so).

 

[Skysnake]

Hier ist die Aufgabe auch noch mal etwas anders:



Der "Trick" ist also, dass wir wissen, dass nach dem Pascalschen Dreieck jede Reihe die Summe 86 hat, und man so die Summe für h+i kennt. Danach ist es nur noch einsetzen.

Hm.. interessanter Lösungsansatz, den ich selbst nicht gesehen hatte. Aber zeigt mal wieder, daß es viele Wege gibt. Vor allem bei leichteren/kleineren Aufgaben kann man viele Lösungsansätze auch verwenden. Erst wenn es schwer/groß wird sind manche einfach nicht mehr praktikabel und man geht zum Formalismus über, der oft halt einfach nur die Verallgemeinerung von irgendwelchen Regeln/Verfahren für Sonderfälle ist.

Umgekehrt nutzt man spezielle Strukturen von Problemen in der höheren Mathematik immer wieder gern um spezielle Verfahren zu nutzen die leichter lösbar sind, aber eben nicht allgemein gültig sind.

Zum Beispiel weiß man, das in der Physik nur reelle Lösungen existieren. Sprich Lösungen mit Imaginäranteil sind keine Lösungen.

Konnte es eigentlich ein Kind (durch geschicktes Probieren) lösen?

Sollte es

 

[Keylan]

Ich habe mich die Woche über viel zurückhalten müssen hier konfrontative Antworten zu schreiben, oder meine Empörung über einige Kommetare raus zu lassen.

Die Reaktionen wie man einem Kind, das an der Aufgabe verzweifelt, Hilfestellung gibt zusammen mit der Formulierung eines "geschickten" Ratens und den Lobhuldungen was das doch für eine tolle Aufgabe sei haben mich sehr frustriert.

Insbesondere weil keinerlei Ansatz dabei war, was "geschicktes" Raten denn sein soll. Wie das explizit aussieht bei der Aufgabe. Wie man dieses geschickte Raten den vom Ungeschickten unterscheiden kann, insbesondere wenn man die Lösung noch nicht kennt. Und wie dieses "geschickte" Raten einem der Antwort näher bringen soll, wenn man nicht durch gut Glück eine Punktlandung hinlegt.

In der Form passte diese Formulierung für mich zu einem esoterischen Ansatz der Magisch eine Lösung herbeizaubern sollte, ohne wirklich Methodik oder Struktur zu folgen und vor allem keinerlei Vermittelbarkeit beinhaltet.

Statt diese Kritik hier früher loszulassen habe ich mich stattdessen dazu gezwungen darüber nach zu denken, wie ich einem 8-9 Jährigen helfen könnte die Aufgabe zu lösen, und welche Strukturen in der Aufgabenstellung stecken die für diese Altersgruppe gut begreifbar sind.

Denn auch wenn die Gleichungssysteme genau wie das Pascalsche Dreieck für mich elegante und zielführende Lösungen sind, halte ich beide für zu komplex und abstrakt um diese ohne eine aufwendige Einführung einem Kind an die Hand zu geben, ganz davon zu schweigen zu erwarte, dass diese eigenständig erkannt und erarbeitet werden.

Welche Annahmen kann also ein Grundschüler über die Aufgabe treffen und welche Strukturen kann dieser erkennen?

1. Die Lösungswerte sind alle Ganzzahlig.

Das kann zum einen Angenommen werden, weil Brüche idr. erst ab der 6-ten Klasse eingeführt werden. Aber auch Intuitiv ist das schnell zu sehen, auch wenn eine formaler Beweis in Abstraktionen wie dem Gleichungssystem oder dem Pascalschen Dreieck eintauchen müsste.
Am einfachsten naxchzuvollziehen wenn auch langwierig wäre ein Wiederspruchsbeweis mit den 5 Gleichungen.

2. Die Werte auf einer Stufe der Pyramide sind im Mittel doppelt so hoch wie die der darunterligenden Stufe.

Das ist warscheinlich was zuvor mit "geschicktem" Raten addressiert werden sollte. Wenn man das Formal fassen will braucht man etwas Kombinatoirik und etwas Basiswissen über Statistik (Normalverteilung).
Ich vermuite, da kam auch der Begriff "kleiner Lösungsraum" her. Natürlich schlecht gewählt den der Lösungsraum der Aufgabe ist so klein wie es nur geht, solange eine Lösung existiert (Eindeutig).
Gemeint ist wohl, das wenn ich die Aufgabe ändere, kleine Änderungen an den gegebenen Werten auch nur kleine Änderungen an den Lösungswerten haben.
Offensichtlich für jeden der weiß, was stetige Gleichungen sind und dass das Gleichungssystem komplett stetig ist, aber in Kombination kommt es zu dem Punkt, das bei so einer vierstufigen Pyramide mit einer Spitze im Wertebereich 75-90, die masse der möglichen darunterliegenden Stufen Werte im Bereich 38-45 haben.
Und die Masse der Stufen darunter Werte im Bereich 19-23 und in der Basis 8-12.

Wer ein gutes Zahlengefühl hat Springt dann schnell dahin für z und v den Wert 12 anzunehmen und braucht nur eine Korrektur um v auf 11 anzupassen und die Pyramide zu lösen.

Aber es geht hier um die Hilfestellung für das Kind, dass kein Gefühl für die Lösung hat und nicht weis was es tun soll.

Diesem geben wir also die Punkte 1. und 2. als Hilfestellungen (1. muss warscheinlich nicht erwähnt werden).
Wir machen also auf die Größenverhältnisse zwischen den Zeilen aufmerksam.

"Wenn in Zeile 2 die Werte 47 und 39 stehen, wie groß ist dann ein Wert etwa in Zeile 3?"

Die Antwort die wir vom Kind wollen ist eine Zahl knapp über 20, aber sagen wir das Kind sagt 20.

"Wenn in Zeile 3 die Werte etwa 20 sind, wie groß ist dann ein Wert etwa in Zeile 4?"

Wenn dann 10 Rauskommt, und wir das einsetzen sieht man, das die Werte etwas zu klein sind. Man ist aber mit wenigen iterativen Steigerungen schnell am Ziel und man sieht beim Probieren wenn man mit einem Weg am Ziel vorbei schießt da man nur 2 Eingabe-Parameter ändert und je nachdem mit der Lösung weiter weg von den Werten in Zeile 2 wandert.

Am Ende gibt es 3 Erkenntnisse die man dem Kind mitgeben klann, um zu verstehen wie die Lösung durch Raten schrittweise angenähert werden kann.

1. Die Struktur der Pyramide, bei der die Werte je Zeile im Mittel immer gedoppelt werden.

2. Das es beim Raten darum geht, die richtigen Werte für z und v zu raten und x,y und w nicht direkt geraten werden sollten weil diese komplett abhängig von z, v und den gegebenen Werten sind.

3. Das kleine Änderungen an den Werten z und v auch nur zu kleinen Änderungen an den Werten y, x und w und deren Vertäglichkeit mit den gegebenen Werte hat und man so eine vermeindliche Lösung iterativ anpassen kann um Abweichungen zu reduzieren.

Natürlich ist es viel schöner, wenn das Kind einen oder mehrere dieser Aspekte selbst erkennt, aber wenn das Kind nicht weiterkommt, sind das meiner Hoffnung nach die Dinge auf die man sein Kind aufmerksam machen kann um ihm zu helfen überhaupt einen Lösungsansatz zu finden und diesen dann nur geringfügig korrigieren zu müssen.

 

[Skysnake]

This. Sehr schön formuliert. 👍

Der aller wichtigste Punkt istvwi3 schon mehrfach gesagt das Gefühl für Verhältnisse/Zahlen.

Das wird insbesondere in Klasse 1 sehr sehr ausführlich im Zahlenraum bis 10 geübt. Die Kinder sollen nicht zählen wie viel etwas bis 10 ist sondern "sehen".

Das ist eine sehr wichtige Fähigkeit die man erst erlernen muss. Hier wird dies auf größere Zahlen ausgebaut.

Ich glaube viele wissen gar nicht mehr, was man alles erst lernen muss und wie wichtig das ist, weil man echt Probleme hat wenn man das nicht kann.

Deswegen, ja, die Aufgabe ist etwas aufwändiger aber kann mit den Mitteln der dritten Klasse klar gelöst werden. Und ja es ist eine schwerere Aufgabe, weil man eben ein gewissen Verständnis, bzw hier eher noch Gefühl für Zahlen entwickelt haben muss.

Ich muss ganz ehrlich sagen, ich hatte das selbst in der Realschule noch nicht gut genug entwickelt und mir daher teilweise echt schwer getan, weil ich die Lösungen als zu allgemein gesehen hatte. Also aus dem gegebenen nicht realisiert hatte das es einfache Lösungen sein müssen. Das kam erst mit der Zeit.

So richtig verstanden habe ich es dann aber erst im Abi bzw im Studium. Ich komme halt aus einem eher bildungsfernen Haushalt. Da hat einem das keiner mal so erklärt.

Aber ich kann ganz bestimmt sagen, daß solche Aufgaben wichtig sind, auch wenn Sie teilweise frustrierend mögen. Wichtig ist halt das am Ende die Lehrkraft das ganze auch erklärt.

 

[User]

(edit: es gibt einen User namens User? Jeden Tag was neues lernen...)

Jupp. 😜

 

[CyborgBeta]

Man kann es "programmatisch" (also mithilfe eines Computers/Programms) auch durch das Backtracking-Verfahren (z. B. DFS) lösen.

 

[CyborgBeta]

Hmm, durch "geschicktes Probieren" komme ich da auf etwa 3000 Versuche ... (schafft jemand weniger? 😉)

Deshalb kann "einfach ausprobieren" eigentlich keine Lösung sein. Stattdessen sollte man "genau hinsehen" bzw. die Gleichungen aufstellen, was ein Kind in der Klasse 3 aber noch nicht hatte ...

import java.util.*;

public class Dyn {
    public static void main(String[] args) {
        customBreadthFirstSearch();
    }

    private static int numberOfCheckCalls = 0;

    public static void customBreadthFirstSearch() {
        int n = 5;
        Deque<int[]> solutions = new ArrayDeque<>();
        solutions.addLast(new int[]{11, 11, 11, 11, 11});
        int best = 1000;
        while (!solutions.isEmpty()) {
            int[] solution1 = solutions.removeFirst();
            int check = checkSolution(solution1);
            numberOfCheckCalls++;
            System.out.println(Arrays.toString(solution1) + " " + check + " (was " + best + ")");
            if (check == 0) {
                System.out.printf("     %d      %n", 86);
                System.out.printf("    %d %d    %n", 47, 39);
                System.out.printf("  %d %d %d   %n", solution1[0], solution1[1], solution1[2]);
                System.out.printf(" %d %d %d %d %n", 12, solution1[3], solution1[4], 5);
                System.out.println("numberOfCheckCalls = " + numberOfCheckCalls);
                return;
            }
            if (check > best) {
                continue;
            }
            if (check < best) {
                best = check;
            }
            int[] solution2 = new int[n];
            System.arraycopy(solution1, 0, solution2, 0, n);
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                solution2[i]++;
                int[] solution3 = new int[n];
                System.arraycopy(solution2, 0, solution3, 0, n);
                solutions.addLast(solution3);
            }
        }
    }

    private static int checkSolution(int[] a) {
        int[] b = {
                86,
                47, 39,
                a[0], a[1], a[2],
                12, a[3], a[4], 5
        };
        int[] result = {
                b[3] + b[4] - b[1],
                b[4] + b[5] - b[2],
                b[6] + b[7] - b[3],
                b[7] + b[8] - b[4],
                b[8] + b[9] - b[5],
        };
        int sum = 0;
        for (int r : result) {
            sum += Math.abs(r);
        }
        return sum;
    }
}

 

[CyborgBeta]

2396 Versuche (wer äußerst schnell Kopfrechnen kann, bekommt das vermutlich hin):

import java.util.*;

public class Dyn {
    public static void main(String[] args) {
        customBreadthFirstSearch();
    }

    public static void customBreadthFirstSearch() {
        int n = 5;
        Deque<int[]> solutions = new ArrayDeque<>();
        int[] first = new int[5];
        Arrays.fill(first, 11);
        solutions.addLast(first);
        int[] best = checkSolution(first);
        while (!solutions.isEmpty()) {
            int[] solution1 = solutions.removeFirst();
            int[] check = checkSolution(solution1);
            System.out.println(Arrays.toString(solution1) + " " + Arrays.toString(check) + " (was " + Arrays.toString(best) + ")");
            if (containsOnlyZero(check)) {
                System.out.printf("     %d      %n", 86);
                System.out.printf("    %d %d    %n", 47, 39);
                System.out.printf("  %d %d %d   %n", solution1[0], solution1[1], solution1[2]);
                System.out.printf(" %d %d %d %d %n", 12, solution1[3], solution1[4], 5);
                System.out.println("numberOfCheckCalls = " + numberOfCheckCalls);
                return;
            }
            if (Arrays.compare(check, best) > 0) {
                continue;
            }
            if (Arrays.compare(check, best) < 0) {
                best = check;
            }
            int[] solution2 = new int[n];
            System.arraycopy(solution1, 0, solution2, 0, n);
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                solution2[i]++;
                int[] solution3 = new int[n];
                System.arraycopy(solution2, 0, solution3, 0, n);
                solutions.addLast(solution3);
            }
        }
    }

    private static int numberOfCheckCalls = 0;

    private static int[] checkSolution(int[] a) {
        numberOfCheckCalls++;
        int[] b = {
                86,
                47, 39,
                a[0], a[1], a[2],
                12, a[3], a[4], 5
        };
        int[] result = {
                b[3] + b[4] - b[1],
                b[4] + b[5] - b[2],
                b[6] + b[7] - b[3],
                b[7] + b[8] - b[4],
                b[8] + b[9] - b[5],
        };
        for (int i = 0; i < result.length; i++) {
            result[i] = Math.abs(result[i]);
        }
        return result;
    }

    private static boolean containsOnlyZero(int[] a) {
        for (int i : a) {
            if (i != 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

 

[Shakyor]

Das ist dritte Klasse?
Ach du heilige

 

[CyborgBeta]

Das ist dritte Klasse?

Ich glaube, eher zweites Semester Mathe-Studium.^^

 

[rallyco]

Ich find's gut, wenn die Kleinen endlich mal wieder gefördert und gefordert werden

 

[NikoNet]

Leute ihr macht es zu kompliziert (es soll ja 3te Klasse sein). Ich habe es auf einem kleinen Notizzettelchen gemacht.
47=12+Z+Z+V
39=Z+V+V+5
V=47-12-Z-Z
jetzt für V eingesetzt
39=Z+(47-12-Z-Z)+(47-12-Z-Z)+5
39=75-3Z
3Z=36
Z=12
jetzt für V
V=47-12-12-12
V=11
Der Rest ist nur noch Plus Rechnung
X=12+12=24
Y=12+11=23
W=11+5=16

 

[Skysnake]

Ja, aber die von dir vorgeschlagene Lösungsweg ist erst für die weiterführende Schule gangbar. In der Grundschule rechnet man noch nicht mit Variablen. Wenn höchstens mit Gegenständen 😉

 

[rallyco]

@NikoNet ich hab Mathe bis in die 13. Klasse gehabt und ich steig schon in Zeile zwei aus 🫠
Wo zur Hölle kommt die 39 her und was macht die 5 da?

Edit: Ach mann, ich bin blöd und hatte die Originalpyramide nicht mehr im Kopf. Die 39 kommt aus der anderen Box

 

[CyborgBeta]

Leute ihr macht es zu kompliziert

Das Problem ist doch, dass nur Probieren übrig bleibt, wenn man die linearen Gleichungen in der Grundschule noch nicht aufstellen und umformen kann ... Und ich wollte doch nur zeigen, dass es dafür einfach zu viele Möglichkeiten/Kombinationen gibt.

 

[NikoNet]

Von dir in ich sowieso beeindruckt @CyborgBeta . Schon krass gleich ein Programm dafür zu schreiben
Ich bin noch sowas von analog.