Definition eines Wortes sorgt für Verwirrung

[Jml93]

Hallo,

ich habe eine etwas ungewöhnliche Frage, es geht um die Definition des Wortes "durchschnittlich". Ich habe einen online Test gemacht wo es fünf verschiedene Bewertungen gibt. Poor, under average, average, above average und excellent. Leider kann ich diese Bewertungen nicht ganz einordnen. Ich möchte nämlich wissen, wie du prozentualle Verteilung der Leute, die den Test gemacht haben, unter den verschiedenen Bewertungen ausfällt. Ich ging zuerst davon aus, dass "average" die meisten Leute betrifft. Der Durchschnitt halt. Aber dann habe ich folgendes gelesen:

“Most people believe they are well above average, which clearly is a statistical impossibility” (“Die meisten Menschen denken, sie sind besser als der Durchschnitt. Das ist eine statistische Unmöglichkeit”).

Das steht in dem superinteressanten Buch “The Surprising Science of Meetings” (1). Und es ist ein üblicher Denkfehler wenn es um Statistik, Durchschnitt und den eigentlich gedachten und gemeinten Median geht (2).

Wie kann es sein, dass mehr Menschen besser als der Durchschnitt sind und ich immer wieder solche Sachen lese wie:

• 85% der Manager denken sie seien überdurchschnittliche Manager
• 90% der Befragten halten sich für überdurchschnittliche Autofahrer

"Sechs Menschen mit unterschiedlichem Gewicht wollen wissen wie schwer sie im Durchschnitt sind und fangen an zu rechnen:

96 + 94 + 92 + 82 +82 +40 = 486 kg wiegen sie gemeinsam.

und 486 kg / 6 = 81 kg wiegen sie im arithmetischen Mittel.

Wieviele Menschen sind schwerer als der Mittelwert? Fünf sind schwerer und nur eine Person ist leichter (40 kg).

Also sind 5/6 = 83 % der Personen schwerer als der Durchschnitt. Eine statistische Unmöglichkeit? Nur zufällig ist das in der Größenordnung wie die 85% der oben genannten Manager ….

Der Durchschnitt sagt also nichts über die Verteilung der einzelnen Werte aus. Durch den Ausreisser mit 40 kg liegen die anderen Personen schnell und einfach über dem Durchschnitt.

… und jetzt?​

Manchmal darf ich genauer hinschauen und wirklich verstehen, was passiert. Manche Sachen wirken so einleuchtend oder klar, und sind doch nicht so einfach.

Klingt alles einfach und richtig, oder?

Findest Du den Fehler?"


Ich möchte aber die Verteilung der einzelnen Werte wissen. Was bringt die Einschätzung "above average" (überdurchschnittlich), wenn nach obiger Logik theoretisch über 90% der Teilnehmer des Tests das selbe vermeintlich "gute" Ergebnis haben können und man einfach nicht weiß, wie die Verteilung ist? Und das gute Ergebnis damit entkräftet wird? Ich hoffe ihr versteht, worauf ich hinaus will... das was ich da oben zitiert habe, hat mich massiv verwirrt, was Durchschnitt (als Bewertung) wirklich bedeutet. Vielleicht könnt Ihr mich ja aufklären, wäre sehr dankbar

MfG

​

 

[SpartanerTom]

Ohne jetzt zu genau auf die einzelnen Beispiele einzugehen, stelle ich mal zusätzlich die Begriffe (Häufigkeits-)Verteilung und Median in den Raum. Das arithmetische Mittel (insbesondere ohne Gewichtung) ist für viele reale Probleme nicht wirklich geeignet.

Was das Ergebnis des Tests angeht, so kommt es sehr stark auf das Testdesign an, weshalb das selbst eine extrem komplizierte Teildisziplin ist. Meistens wird angestrebt, dass die Ergebnisse grob normalverteilt sind. Letztlich hat das aber nur der Testersteller in der Hand. Nicht umsonst ist eine zielführende Auswertung mehr als nur die Summe der erreichten Punkte.

 

[Cat Toaster]

Möglicherweise hätte der Verfasser der Benotung besser auf Zahlen 1-5 zurück gegriffen, um eine sprachliche Verwirrung zu vermeiden, bzw. soll wirklich eine statistische Verteilung impliziert werden?

 

[PERKELE]

Moin,

in deinem Beispiel ist der Median (87kg) zunehmen um ein "typisches" Gewicht abzubilden.

Damit reisen die harten Ausreisser den durchschnitt nicht alzu sehr nach oben oder unten.

 

[KnolleJupp]

Das ist eine Frage des Bezugssystems.
Wenn gesagt wird das es unmöglich ist wenn sich die meisten Menschen für überdurchschnittlich halten, stimmt das.
Das ist eine sehr allgemeine Aussage und natürlich sind statistisch genau so viele Menschen über wie unter dem Durchschnitt. Sonst wäre der Durchschnitt nicht der Durchschnitt.

In so einem Test, der eine definierte, begrenzte Teilnehmeranzahl aufweist, kann ein einzelnes Ergebnis über oder unter dem Durchschnitt liegen.
z.B. dein Ergebnis ist "höher als der Durchschnitt", was bedeutet du liegst eben über dem Durchschnitt aller Teilnehmer.

Oder vielleicht anders formuliert (der Ausspruch ist nur geliehen):
Jeder kann im Lotto gewinnen, aber nicht alle.

Bei dem Gewichtsbeispiel ist es so:
Der eine mit 40kg weicht erheblich ab vom Gewicht aller anderen, also bringt er den Durchschnitt durcheinander.
96 + 94 + 92 + 82 +82 + 40
Lassen wir den 40kg Kandidaten weg, so wäre der Durchschnitt 89kg und dann lägen drei drüber und zwei drunter.
Letztlich ist die Rechnung aber Unsinn, denn jeder hat sein definiertes Gewicht und niemand trifft den Durchschnittswert, sondern liegt entweder darüber oder darunter. Das wäre nun eine statistische Zusatzangabe sinnvoll, um das Ergebnis besser einordnen zu können.

Statt einem Durchschnitt wäre die Häufigkeitsverteilung eine sinnvollere Beschreibung.

 

[Fanchen]

Ich denke die Verwirrung liegt daran, dass die problematische Behauptung auf Intelligenz (bzw. den IQ) bezogen sein dürfte. Der Intelligenzquotient ist normalverteilt und damit kann es tatsächlich nicht sein, dass mehr Leute über als unter dem Durchschnitt liegen.

 

[Vigilant]

Wie kann es sein, dass mehr Menschen besser als der Durchschnitt sind und ich immer wieder solche Sachen lese wie:

• 85% der Manager denken sie seien überdurchschnittliche Manager
• 90% der Befragten halten sich für überdurchschnittliche Autofahrer

Ist doch korrekt, wenn folgendes Zutrifft:

85 von 100 sagen, dass sich besser als der Durchschnitt der Manager sind.
90 von 100 sagen, sie sind besser als der durchschnittliche Autofahrer.

Der Anteil beschreibt die Anzahl Personen im Verhältnis zur Gesamtheit der Befragten (Grundgesamtheit 1). Das andere ist eine schlichte Aussage, Meinung, Einordnung bezüglich ihrer Fähigkeiten in Bezug auf eine andere (unbekannte) Grundgesamtheit, (Stichwort: Bezug, wie @KnolleJupp richtig sagt.)

Es kann also durchaus sein, dass 85%/90% tatsächlich besser sind in Bezug auf eine bestimmte Gruppe. Genauso können sie sich aber in der Selbsteinschätzung fundamental irren. Was wahrscheinlich ist bei solcher Art Selbsteinschätzung. Aber... das eine hat mit dem anderen nichts (mathematisch) zu tun.

 

[KnolleJupp]

Da sieht man mal das wenige Doofe den Durchschnitt massiv nach unten ziehen können...

 

[luckysh0t]

Es kann also durchaus sein, dass 85%/90% tatsächlich besser sind in Bezug auf eine bestimmte Gruppe. Genauso können sie sich aber in der Selbsteinschätzung fundamental irren. Was wahrscheinlich ist bei solcher Art Selbsteinschätzung. Aber... das eine hat mit dem anderen nichts (mathematisch) zu tun.

Das ist ähnlich wie bei Befragungen mit dem Grundeinkommen:
Würden Sie noch weiter arbeiten?
Denken Sie, ihre Nachbarn würden noch weiter arbeiten?


Ich habe die Zahlen nicht mehr im Kopf, aber auch da war es so, dass ähnliche viele die erste Frage bejaht haben und zweite verneint haben.

Ein Großteil denkt eben besser von sich als vom Rest ^^.



Bei Themen über Statistik kommt mir auch immer wieder ein Zitat von Dr. Cox aus Scrubs in den Sinn

Eine Statistik sagt über dein einzelnen überhaupt nichts aus

 

[Jml93]

Das ist eine Frage des Bezugssystems.
Wenn gesagt wird das es unmöglich ist wenn sich die meisten Menschen für überdurchschnittlich halten, stimmt das.
Das ist eine sehr allgemeine Aussage und natürlich sind statistisch genau so viele Menschen über wie unter dem Durchschnitt. Sonst wäre der Durchschnitt nicht der Durchschnitt.

In so einem Test, der eine definierte, begrenzte Teilnehmeranzahl aufweist, kann ein einzelnes Ergebnis über oder unter dem Durchschnitt liegen.
z.B. dein Ergebnis ist "höher als der Durchschnitt", was bedeutet du liegst eben über dem Durchschnitt aller Teilnehmer.

Oder vielleicht anders formuliert (der Ausspruch ist nur geliehen):
Jeder kann im Lotto gewinnen, aber nicht alle.

Bei dem Gewichtsbeispiel ist es so:
Der eine mit 40kg weicht erheblich ab vom Gewicht aller anderen, also bringt er den Durchschnitt durcheinander.
96 + 94 + 92 + 82 +82 + 40
Lassen wir den 40 weg, so wäre der Durchschnitt 89kg und dann lägen drei drüber und zwei drunter.

Das ist eine Frage des Bezugssystems.
Wenn gesagt wird das es unmöglich ist wenn sich die meisten Menschen für überdurchschnittlich halten, stimmt das.
Das ist eine sehr allgemeine Aussage und natürlich sind statistisch genau so viele Menschen über wie unter dem Durchschnitt. Sonst wäre der Durchschnitt nicht der Durchschnitt.

In so einem Test, der eine definierte, begrenzte Teilnehmeranzahl aufweist, kann ein einzelnes Ergebnis über oder unter dem Durchschnitt liegen.
z.B. dein Ergebnis ist "höher als der Durchschnitt", was bedeutet du liegst eben über dem Durchschnitt aller Teilnehmer.

Oder vielleicht anders formuliert (der Ausspruch ist nur geliehen):
Jeder kann im Lotto gewinnen, aber nicht alle.

Bei dem Gewichtsbeispiel ist es so:
Der eine mit 40kg weicht erheblich ab vom Gewicht aller anderen, also bringt er den Durchschnitt durcheinander.
96 + 94 + 92 + 82 +82 + 40
Lassen wir den 40 weg, so wäre der Durchschnitt 89kg und dann lägen drei drüber und zwei drunter.
Letztlich ist die Rechnugn aber Unsinn, denn jeder hat sein definiertes Gewicht und niemand trifft den Durchschnittswert, sondenr liegt entweder darüber oder darunter. Das wäre nun eine statitsische Zusatzangabe sinnvoll, um das Ergebnis besser einordnen zu können.

Der Autor des Zitats meint aber, dass theoretisch deutlich mehr Menschen über dem Durchschnitt als darunter liegen können, bei dem Beispiel welches er aufgeführt hat? Oder ist das auf Tests wo durchschnittlich als Bewertung (Mitte) aufgeführt wird nicht übertragbar?

Ergänzung (19. September 2024)

Ich denke die Verwirrung liegt daran, dass die problematische Behauptung auf Intelligenz (bzw. den IQ) bezogen sein dürfte. Der Intelligenzquotient ist normalverteilt und damit kann es tatsächlich nicht sein, dass mehr Leute über als unter dem Durchschnitt liegen.

Bei dem Test den ich gemacht habe geht es nicht um den IQ, sondern um die Hand-Augen-Koordination

 

[luckysh0t]

Da sieht man mal das wenige Doofe den Durchschnitt massiv nach unten ziehen können...

Oder wie viel Einfluss der Verfasser der Auswertung hat ^^

Siehe die polizeilichen Kriminalstatistiken..

 

[KnolleJupp]

Jain.

Wenn ich sage: "ich halte mich für intelligenter als die meisten anderen" vergleiche ich mich mit allen anderen, mit grundsätzlich allen.
Das ist weder gemessen, noch berechnet, sondern nur mein Eindruck von mir im Vergleich zu einer diffusen Masse anderer. Dieser Eindruck kann gewaltig daneben liegen.

Wenn mein Testergebnis besser ist als der Durchschnitt, vergleiche ich mein Ergebnis mit dem Ergebnis aller anderen Teilnehmer, also einer definierten Gruppe und jedes weitere Testergebnis kann den Durchschnittswert verändern und damit auch mein Ergebnis im Vergleich dazu.
Und ich vergleiche definierte Werte miteinander.

 

[Galatian]

Ich check die Frage nicht ... also klar können erstmal gerne 80 % der befragten denken/meinen sie seien schlauer/besser/wasauchimmer. Das bedeutet nicht, dass sie es am Ende sind.

Zu deinem genannten Beispiel mit dem Gewicht: das kann man doch das geometrische Mittel nehmen?

 

[Jml93]

Jain.

Wenn ich sage: "ich halte mich für intelligenter als die meisten anderen" vergleiche ich mich mit allen anderen, mit grundsätzlich allen.
Das ist weder gemessen, noch berechnet, sondern nur mein Eindruck von mir im Vergleich zu einer diffusen Masse anderer. Dieser Eindruck kann gewalting daneben liegen.

Wenn mein Testergebnis besser ist als der Durchschnitt, vergleiche ich mein Ergebnis mit dem Ergennis aller anderen Teilnehmer, also einer definierten Gruppe und jedes weitere Testergebnis kann den Durchschnittswert verändern und damit auch mein Ergebnis im Vergleich dazu.

Kann man daraus die Verteilung berechnen? Was ist der Durchschnitt?

 

[Winston90]

Also sind 5/6 = 83 % der Personen schwerer als der Durchschnitt. Eine statistische Unmöglichkeit? Nur zufällig ist das in der Größenordnung wie die 85

Median, Mittelwert, Modus/Modalwert.

 

[Vigilant]

Einfach mal hier Durchwühlen für den Anfang: https://de.statista.com/statistik/lexikonListe/letter/A/

 

[KnolleJupp]

Nein, eine Verteilung kann man daraus nicht berechnen. Wie auch, ohne die genauen Ergebnisse aller Teilnehmer zu kennen.
Bei dem Beispiel mit dem Gewicht, hast du ja selber bemerkt das Ausreißer nach oben oder unten den Durchschnitt deutlich verändern.
Wenn da von 100 Teilnehmern 5 spitzenmäßig waren und 10 furchtbar schlecht, weil sie den Test unmotiviert absolviert haben,
ist der Durchschnitt nicht wirklich sinnvoll zum Vergleich. Man müsste, jetzt kommt wieder die Statistik, z.B. die besten und schlechtesten Ergebnisse streichen, um eine allgemeinere Aussage treffen zu können.
Viel interessanter als der Durchschnittswert ist die Häufigkeitsverteilung, also wie viele Probanden haben welches Ergebnis erzielt.

 

[Vigilant]

Jep, hier kommen dann auch Standardabweichung, Median, Verteilung, Perzentile und noch viele Nettigkeiten der Statistik mehr ins Spiel.

 

[Jml93]

Nein, eine Verteilung kann man daraus nicht berechnen. Wie auch, ohne die genauen Ergebnisse aller Teilnehmer zu kennen.
Bei dem Beispiel mit dem Gewicht, hast du ja selber bemerkt das Ausreißer nach oben oder unten den Durchschnitt deutlich verändern.
Wenn da von 100 Teilnehmern 5 spitzenmäßig waren und 10 furchtbar schlecht, weil sie den Test unmotiviert absolviert haben,
ist der Durchschnitt nicht wirklich sinnvoll zum Vergleich. Man müsste, jetzt kommt wieder die Statistik, die besten und schlechtesten Ergebnisse streichen, um eine allgemeinere Aussage treffen zu können.
Viel interessanter als der Durchschnittswert ist die Häufigkeitsverteilung, also wie viele Probanden haben welches Ergebnis erzielt.

Verstehe. Langsam kommt Licht ins Dunkel. Was ich daraus schließe ist dass diese Tests überhaupt nicht aussagekräftig sind, wenn die Verteilung nicht bekannt ist. Nun, die ist aber den Erstellern des Tests bekannt. Denn dadurch ist die Einteilung in Bewertungen mit Punkten überhaupt erst entstanden. Es wurden nämlich Leute getestet um die Statistik zu ermitteln und zu erstellen. Soviel ist klar und das steht da auch so. Warum die Verteilung dann nicht mit eingebaut und angezeigt wird, um das Ergebnis besser verstehen zu können, ist mir fraglich. Das Verfahren stammt aus einem Buch, hab online über den Test gelesen und die möglichen Ergebnisse und Punkte die man dabei erreichen kann. Vielleicht steht in dem Buch mehr, werds mir mal holen. The World of Sports Examined

 

[00Julius]

Wie kann es sein, dass mehr Menschen besser als der Durchschnitt sind und ich immer wieder solche Sachen lese wie:

• 85% der Manager denken sie seien überdurchschnittliche Manager
• 90% der Befragten halten sich für überdurchschnittliche Autofahrer

"Sechs Menschen mit unterschiedlichem Gewicht wollen wissen wie schwer sie im Durchschnitt sind und fangen an zu rechnen:

Der Fehler der Befragung liegt mMn nicht in den Antworten, sondern in den Fragen.

In deinem Beispiel mit dem Gewicht hast du es richtig gemacht: Es wird ein Durchschnittsgewicht ermittelt und dann sehe ich, welche Menschen über oder unter dem Durchschnitt liegen.
Das ist Mathematik/Statistik.

Deine Umfragen mit den Managern und Autofahrern beziehen sich aber meist auf eine subjektive Einschätzung der Menschen.

Beispiel:
Ich frage dieselben Menschen wie oben, ob sie denken, dass ihr Gewicht über oder unter dem Durchschnitt liegt, ohne ihnen zu sagen wie dieser ist. Wie wird nun die Selbsteinschätzung ausfallen?

Haben alle Teilnehmer dieselbe Grundlage, oder wird die Einschätzung aufgrund ihrer Erfahrungen gemacht?
Nehmen wir 3 Personen mit 85kg Gewicht, die wir unterschiedlichen Erfahrungen aussetzen:

• Person 1 lebt fast ausschließlich unter Menschen, die >100kg wiegen
• Person 2 lebt fast ausschließlich unter Menschen, die <70kg wiegen
• Person 3 lebt unter Menschen, die zwischen 60 und 120kg wiegen

Wie werden die Antworten der 3 Personen ausfallen?

Ich empfehle zu der ganzen Thematik auch:
Dr. Mai Thi Nguyen-Kim Die kleinste gemeinsame Wirklichkeit